Unidad+1.-+Conceptos+Básicos

Subtemas 1.1 Uso de los métodos numéricos **__MÉTODOS NUMÉRICOS__** Una definición de análisis numérico podría ser el estudio de los errores en los cálculos; error aquí no quiere decir un disparate, equivocación u omisión, sino más bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los números o fórmulas. Otra definición de análisis numérico podría ser el diseño, uso y análisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o función. Un especialista de análisis numérico se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del estudio de los métodos es su variación. El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo. Si bien no nos interesa la construcción de tal dispositivo o la manera en que funciona, si nos importarán los sistemas numéricos de máquinas en contraposición con nuestro sistema de números reales, y los errores resultantes de cambiar de uno a otro sistema. Una buena razón para estudiar el análisis numérico es mejorar nuestra comprensión de los conceptos de las matemáticas (puras) observando como algunos de ello deben modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales. Después de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos. Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala. Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia. Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos. 1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. 2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras. Exactitud y Precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. Error. En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exact9 y el obtenido por aproximación se define como: Error = Valor real -valor estimado En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado. Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado, podemos normalizar su valor : Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este. Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el número de cifras significativas que contiene el error como: Si reemplazamos Es en la ecuación. Obtendremos el número de cifras significativas en que es confiable el valor aproximado obtenido. Así, si queremos que nuestro cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras significativas, debemos obtener números que correspondan a menos de: Es=(0.5x 102-2)%=0.5% Esto nos servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado en Es Muchas veces, los computadores cortan los números decimales entre e17° y 12° decimal introduciendo así un error de redondeo Por ejemplo, el valor de "e" se conoce como 2.718281828... hasta el infinito. Si cortamos el número en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) estamos obteniendo u error de E = 2.718281828 -2.71828182 = 0.000000008... Sin embargo, como no consideramos que el número que seguía al corte era mayor que 5, entonces nos convenía dejar el número como 2.71828183, caso en el cual el error sería solo de E = 2.118281828 -2.11828183 = -0.000000002.. , que en términos absolutos es mucho menor que el anterior. En general, el error de corte de las computadoras será muy inferior al error introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de cifras significativas. Dependiendo de la magnitud de los números con los que se trabaja, el error de redondeo puede tener una incidencia muy grande muy pequeña en el cálculo final. Así por ejemplo, si tenemos un producto de 502,23 m y un precio en dólares de US $ 7,52, el precio total nos dará US$ 3.776,7696 (que en pesos chilenos, con 1 dólar = $500 nos da $1.888.384,8). Ahora, si introducimos una variación del 0.1% en los metros del producto y calculamos el total, obtenemos 502,23 * 0.1 % = 507, 54, que en US$ equivalen a US$3.816,7008 ( o sea, $1.908.350,4 pesos chilenos, una diferencia de $19.965,6) lo que no deja de ser importante, ya que una variación de 0.1% en el metraje del producto nos da un error superior a 1.5% en el precio final Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta). En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo "n" veces. El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración ( o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo). Entonces, ¿qué criterio utilizamos? ...lo ideal sería determinar el punto en que los errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento. Pero como dije, es lo ideal; en la práctica debemos considerar que hoy por hoy los computadores tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar olvidar su aporte al error total. **__Expansión en Series de Taylor__** Una especial atención tiene la aproximación de funciones por la utilización de series de expansión de Taylor. Así, si una función es continua y diferenciable dentro del intervalo de interés, puede ser escrita como una serie de potencia finita, o serie de Taylor. Este método no puede, sin embargo, usarse para ajustar datos experimentales [Xi, f(xJ], sino que para transformar funciones ya conocidas y diferenciables a unas de más fácil manejo. Existen ciertas observaciones que deben conocerse al aplicar esta fórmula. Por ejemplo, para tener una mejor aproximación de la función a un intervalo [a, b], el valor de Xo debe elegirse lo más cercano posible al centro de dicho intervalo. De esta manera se minimiza la contribución máxima del término (X-Xo)n+l del residuo en el cálculo de R(x) entre a < = x < = b. Otra forma de minimizar el valor del residuo es elevar el grado del polinomio de ajuste, o sea incluir más términos en la serie y reducir así el exponente de R(x). 1.2 Análisis del error    1. Conceptos      2. Error de redondeo      3. Propagación de errores
 * __Análisis numérico.__**
 * __Métodos numéricos.__**
 * __Cifras significativas.__**
 * __ERROR DE REDONDEO__**
 * __ERRORES DE TRUNCAMIENTO.__**
 * __E__****__RROR NUMERICO TOTAL__**

Exactitud y precisión Los errores asociados con los cálculos y las medidas de un valor se pueden caracterizar en términos de su exactitud y su precisión. Exactidud: se refiere a la veracidad del valor Precisión: se refiere a la escala usada para expresar el valor Cifras significativas El concepto de cifras significativas se ha introducido para poder manejar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Los números 0.000857, 0.00857 y 0.0857 tienen 3 cifras significativas, ya que los ceros solamente se usan para ubicar el punto decimal. Cuantas cifras significativas tiene el número 857000? Puede tener 3, 4 5 o 6 cifras significativas, dependiente de cuantos de los ceros se conocen con exactitud Notación científica Para resolver este tipo de ambigüedad, se usa la notación científica de los números reales: 0,000857 = 8,57 · 10¡4 ⇒ 3 cifras significativas 0,00857 = 8,57 · 10¡3 ⇒ 3 cifras significativas 0,0857 = 8,57 · 10¡2 ⇒ 3 cifras significativas Y para el número 857000 tenemos: si lo escribimos como 8,57 · 105 indicamos que tiene 3 cifras significativas si lo escribimos como 8,570 · 105 indicamos que tiene 4 cifras significativas si lo escribimos como 8,5700 · 105 indicamos que tiene 5 cifras significativas. Cifras significativas en una aproximación El concepto de cifras significativas es importante ya que permite definir criterios para la bondad de una aproximación: por ejemplo la aproximación de un valor numérico es aceptable, si coincide con el valor exacto en 4 cifras significativas. Ejemplos: Una aproximación aceptable del π debe coincidir en 8 cifras significativas con su valor exacto. Como π = 3,14159265358. . . Aproximaciones aceptables de  π son por ejemplo 3,1415926, 3,141592611 o 3,1415926999 Tipos de error Sea x el valor resultante de un procedimiento matemático y ex su aproximación. La diferencia entre x y ex se explica básicamente por dos razones: Tenemos un error de truncamiento por aplicar un procedimiento matemático aproximado (por ejemplo usar la serie de Taylor de orden finito en vez   de usar los infinitos términos de la suma para una función que es infinitas veces    diferenciable) Obtenemos un error de redondeo porque no podemos representar el   número con todos sus cifras significativas (por ejemplo usamos eπ = 3,14 en    vez del número π que tiene infinitas decimales). Error verdadero Contemplando todos los posibles errores, la relación entre el resultado exacto y el   aproximado es: valor verdadero = aproximación + error Reordenando obtenemos: Ev = valor verdadero − aproximación = x − ex   donde Ev se usa para denotar el valor exacto del error, el “error verdadero” ea = error aproximado --100%.   valor aproximado

Error absoluto Todos los tipos de errores, que hemos definido hasta el momento, pueden ser positivos o negativos. Sin embargo, el signo del error no interesa mucho. Por eso se aplica el valor absoluto. Una condición de parada de un algoritmo numérico iterativo entonces es   |ea| < τ donde τ es una tolerancia previamente fijada. 1.3 Introducción a Mathcad, Matlab MATLABMatlab es un programa interactivo para cálculo numérico y tratamiento de datos. Contiene muchas herramientas y utilidades que permiten además diversas funcionalidades, como la presentación gráfica en 2 y 3 dimensiones. Esos útiles están agrupados en "paquetes" (//toolboxes//). A Matlab se le pueden añadir paquetes especializados para algunas tareas (por ejemplo, para tratamiento de imágenes). Trabajar con Matlab comporta aprender un lenguaje simple. En esta introducción se explican los elementos básicos de este lenguaje. Matlab es un programa //command-driven//, es decir, que se introducen las órdenes escribiéndolas una a una a continuación del símbolo (//prompt//) que aparece en una interfaz de usuario (una ventana). Esta introducción contiene ejemplos que se pueden escribir directamente en la línea de comandos de Matlab Matlab es un lenguaje de alto nivel desarrollado para realizar cálculos técnicos. Su nombre deriva de **//Matrix Laboratory //**(Laboratorio de Matrices). Por su capacidad Matlab es un sistema interactivo ideal para aplicaciones de ingeniería. Los distintos usos que se le pueden dar son: • Matemáticas y cálculos • Desarrollo de algoritmos • Modelado y simulación • Análisis y visualización de datos • Gráficos científicos e ingenieriles • Desarrollos aplicados, incluyendo la construcción de interfaces gráficas Para aprender a trabajar con Matlab es fundamental entender el manejo de matrices que éste utiliza. **MANIPULACIÓN DE MATRICES**  Las matrices se pueden definir de distintas maneras: • Ingresando de manera explicita la lista de elementos • Cargando matrices anteriormente creadas • Generando matrices mediante la utilización de funciones • Crear matrices con funciones propias hechas en archivos .m Para definir una matriz ingresando los elementos solo hace falta ingresar el nombre de la variable donde se guardará la matriz y el valor de los distintos elementos. Los elementos deben estar entre corchetes, "[]" y se utiliza el punto y coma ";" para indicar el final de cada fila. Los elementos dentro de cada fila se separan mediante un espacio en blanco o mediante comas.

||  VECTOR FILA ||  VECTOR COLUMNA ||  MATRIZ || V = 2  ||  >> A=[1 2] A = 1 2  ||  >> B=[1;2] B = 1 2   ||  >> C=[1 2;3 4] C = 1 2 3 4   ||
 * <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> Ejemplos: VARIABLE
 * <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> >> V=2

En caso de que no se incluya el nombre de la variable donde se guardará la matriz, la misma se almacenará de manera predeterminada en la variable //<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;">ans //. Esto sucede siempre que no se especifique una variable de salida. Operaciones con matrices: Matlab permite realizar una gran cantidad de operaciones con matrices. Algunas de ellas son: • Suma: + • Resta: - • Multiplicación: * • División: / • Potencia: ^ • Transpuesta: ' Ejemplo: Definimos C = 22 31 33 18 73 21  23 40 46 || >> C=A^2 C = 25 7 20 20 20 33  21 10 32 ||
 * >> A=[1 2 3;9 1 1;2 1 5];B=[1 7 1;6 6 4;3 4 8]; MULTIPLICACION || POTENCIA ||
 * >> C=A*B

Observación<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;">: Al realizar operaciones con matrices hay que tener en cuenta las dimensiones de cada matriz para no obtener un mensaje de error. <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;">

**<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;">det(variable) || **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> MAXIMO **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> max(variable) || >> C=diag(A) C = 16 10  7  1   || <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> Calcula el determinante de la matriz. >> C=det(A) C = 0  || <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> Si la matriz es un vector dará como resultado el máximo valor del vector y si es una matriz dará como resultado un vector fila que contiene el máximo de cada columna de la matriz. >> C=max(A) C = 16 15 14 13  ||  **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> min(variable) || **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> AUTOVALORES **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;">eig(variable) || **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> MEDIA **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> mean(variable) || >> C=min(A) C = 4 3 2 1  || <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> Da como resultado un vector que contiene todos los valores de la matriz. La matriz utilizada debe ser cuadrada. >> C=eig(A) C = 34.0000 8.0000  0.0000  -8.0000   || <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> Para un vector, el resultado es el valor medio de los elementos del mismo. Para matrices, el resultado es un vector fila que contiene la media de cada columna de la matriz. >> C=mean(A) C = 8.5000 8.5000 8.5000 8.5000  ||  **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;">std(variable)  || **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> INVERSA **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> inv(variable) || **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> POLINOMIO CARACTERISTICO **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;">poly(variable) || >> C=std(A) C = 5.4467 5.1962 5.1962 5.4467  || <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> Da la inversa de una matriz, la matriz debe ser cuadrada y no singular >> C=inv(D) C = -2.4286 1.5714 -0.5714 1.0952 -0.5714 0.2381  1.4762 -0.8571 0.1905   || <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> Da como resultado los coeficientes del polinomio característico de la matriz. La misma debe ser una matriz cuadrada. Nota: el polinomio característico se obtiene como "det(λ  <span style="font-family: Times New Roman,Times New Roman;"><span style="font-family: Times New Roman,Times New Roman;">I  <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;">- A) = 0"  >> C=poly(A) C = 1.0e+003 * 0.001 -0.0340 -0.064 2.176 -0.000  ||  **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> zeros(n,m) || **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> MATRIZ DE UNOS **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;">ones(n,m) || **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> MATRIZ ALEATORIA **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> rand(n,m) || >> C=zeros(2,3) C = 0 0 0 0 0 0   || <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> Crea una matriz de unos de orden n x m. Si se ingresa solo ones(n) crea una matriz de unos de orden n x n.  >> C=ones(2) C = 1 1 1 1   || <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> Crea una matriz de elementos con valores aleatorios de orden n x m. Los valores que toman los elementos son elegidos de una distribución uniforme entre 0 y 1. si se ingresa solo rand(n) la matriz creada será de orden n x n. >> C=rand(4,3) C = 0.9501 0.8913 0.8214 0.2311 0.7621 0.4447  0.6068 0.4565 0.6154  0.4860 0.0185 0.7919   ||
 * **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;">ELEMENTOS DIAGONALES **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;">diag(variable)  || **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> DETERMINANTE
 * <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> Da como resultado una matriz que contiene todos los elementos diagonales de la matriz original.
 * **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> MINIMO
 * <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> Si la matriz es un vector dará como resultado el mínimo valor del vector y si es una matriz dará como resultado un vector fila que contiene el mínimo de cada columna de la matriz.
 * **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> DESVIO ESTANDAR
 * <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> Para un vector, el resultado es la desviación estándar del vector. Para matrices, el resultado es un vector fila que contiene la desviación estándar de cada columna de la matriz.
 * **<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> MATRIZ DE CEROS
 * <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> Crea una matriz de ceros de orden n x m. Si se ingresa solo zeros(n) crea una matriz de ceros de orden n x n.

<span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> <span style="font-family: Arial,Arial;"><span style="font-family: Arial,Arial;"> MATHCAD Mathcad es uno de los llamados "Computer algebra System (CAS)". Estos programas se caracterizan por su potente habilidad gráfica y por ello son muy útiles en la enseñanza de la física y las matemáticas apoyada por el computador. En Mathcad es posible combinar ecuaciones, cálculos (numéricos y simbólicos), gráficas y texto. Estas características y su presentación e iconos facilitan su uso, lo hacen casi intuitivo. Mostramos aquí las pantallas características de las versiones Mathcad 4 en español y 6 en Inglés. Las versiones 5 y 7 son similares a las versiones 4 y 6 respectivamente. Las gráficas y ecuaciones que aparecen a lo largo de este artículo han sido desarrollados en Mathcad y copiados aquí. Figura 1. Pantalla de presentación de Mathcad 4. con algunas de sus características. Figura 2. Pantalla de presentación de Mathcad 6. Figura 3. Operaciones numéricas y simbólicas en Mathcad
 * Introducción **
 * Las pantallas de Mathcad **
 * Un paseo por MathCad **
 * 1) Operaciones sencillas: basta con escribir las expresiones, teclear "=" y listo, Mathcad da el resultado numérico. (Para resultados simbólicos seleccionar "evaluar" del menú "simbólico").

Figura 4. Asignación de variables en Mathcad 3. Evaluación de funciones en los argumentos deseados: Figura 5. funciones en Mathcad Figura 6. Gráficos X-Y en Mathcad
 * 1) Asignación de valores a las variables: se asignan valores tecleando el nombre de la variable seguido de  **":="** (basta con teclear ":" o picar el símbolo **":="** de la paleta respectiva).
 * 1) Para hacer gráficos X-Y, basta con definir el rango de x, la función, insertar gráfico X-Y (picando con el ratón en la paleta ó seleccionándolo del menú "graphics" (gráficos) o tecleando el signo "@"), colocar la variable independiente y la función en los sitios apropiados y "Enter". (la gráfica aparecerá si el programa está en modo automático, es decir, bombillo prendido).

Figura 7. Gráficos Polares en Mathcad 6. Gráficos de superficies y de contorno (se insertan del menú "graphics".) Figura 8. Gráficos de Superficie y Nivel en Mathcad 7. Es posible insertar texto donde se desee para aclarar o explicar una expresión o gráfico. Figura 9. Combinación cálculos y texto en Mathcad Figura 10. Cálculo simbólico en Mathcad Veamos un sencillo ejemplo de la utilidad gráfica de este programa en el caso de dos oscilaciones que se superponen perpendicularmente: Figura 11. Figuras de Lissajous en Mathcad
 * 1) Gráficos polares: Se definen el rango de la variable independiente, la respectiva función y del menú "Graphics". Se inserta el gráfico polar, se llenan los respectivos espacios con la variable independiente y la función.
 * 1) Es posible hacer operaciones simbólicas como simplificar, factorizar, derivar, integrar entre otras:
 * Una Aplicación en Física **

<span style="background-color: #ffffff; url(http: //www.oocities.com/geocities-archive/d.jpg); background-repeat: repeat-x; color: #000000; display: block; font-family: times; font-size: 9px; height: 120px; left: 0px; overflow: hidden; position: absolute; right: 0px; top: 0px; width: 100%; z-index: 2;"> This Page is an antiquarian - possibly outdated - usergenerated website brought to you by an archive. It was mirrored from Geocities in the end of october 2009. For any questions about this page try to contact the respective author. For any questions concerning the archive visit our main page: OoCities.org. To report any mal content send URL to oocities[at]gmail[dot]com