Unidad+2.-+Raíces+de+polinomios

= 2.1. Teorema del factor y del residuo = = Teorema del factor =

=== En álgebra, **teorema del factor ** es un teorema para descubrir los factores de a polinómico (una expresión en la cual los términos se agregan solamente, restado o multiplicado, e.g. //x // 2 + 6 //x // + 6 ). Es a [|caso especial]  de [|teorema polinómico del resto] . === === El teorema del factor indica que un polinomio //f // ( //x // ) tiene un factor //x // − //k // [|si y solamente si]  //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">f // ( //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">k // ) = 0. ===

=== <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">Un ejemplo  <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">  ===

<span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">Usted desea encontrar los factores de
=== //<span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">x // <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">3 + 7 //<span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">x // <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">2 + 8  //<span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">x // <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;"> + 2. <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;"> === === <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">Para hacer esto usted utilizaría ensayo y error que encuentra el primer factor. Cuando el resultado es igual a 0, sabemos que tenemos un factor. Es ( //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // − 1) ¿un factor? Para descubrir, substituya //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // = 1 en el polinomio arriba: === === //<span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">x // <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">3 + 7 //<span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">x // <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">2 + 8  //<span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">x // <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;"> + 2 = (1)3 + 7(1)2 + 8 (1) + 2= 1 + 7 + 8 + 2= 18  <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">  === === <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">Pues esto es igual a 18 no 0 ( //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // − 1) no es un factor de //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // 3 + 7 //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // 2 + 8 //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // + 2. Así pues, intentamos después ( //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // + 1) (substituyendo //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // = − 1 en el polinomio): === === <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">( − 1)3 + 7( − 1)2 + 8 (− 1) + 2. <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;"> === === <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">Esto es igual a 0. Por lo tanto //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // − ( − 1), que es decir //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // + 1 , es un factor, y -1 es a <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">[|raíz] <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;"> de //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // 3 + 7 //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // 2 + 8 //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // + 2. === === <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">Las dos raíces siguientes pueden ser encontradas algebraico dividiéndose //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // 3 + 7 //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // 2 + 8 //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // + 2 por ( //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // + 1) para conseguir una ecuación cuadrática, que se puede solucionar directamente, por el teorema del factor o por <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">[|ecuación cuadrática] <span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">. = //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // 2 + 6 //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // + 2 y por lo tanto ( //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // + 1) y //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // 2 + 6 //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // + 2 son los factores de //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // 3 + 7 //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // 2 + 8 //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">x // + 2. === = = =** Teorema del residuo **= =<span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a). Por ejemplo, = =<span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">si f(x) = x2 + x - 2 se divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 22 + (2) - 2 = 4. = =<span style="color: windowtext; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes: f(x) = (x-2)(x+3) + 4 Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmente a esperar que 4 sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2). El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar los factores de un polinomio. En este ejemplo, f(1) = 12 + (1) - 2 = 0. Por lo tanto, significa que no existe residuo, es decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarse fácilmente una vez que reacomodamos el polinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes: f(x) = (x-1)(x+2) Como se muestra, (x-1) es un factor =

= 2.2. División sintética = == La división sintética es un procedimiento por medio del cual se puede dividir un polinomio de solo una indeterminada, de orden //n//, entre un polinomio de orden 1 de la forma //x - a// donde //x// es la indeterminada y //a// es un número. Este procedimiento es puramente numérico (no se requiere manejo de literales) y resulta más facil que la división de polinomios convencional. Después de realizada la división se obtiene como cociente un polinomio de orden //n - 1// y el residuo que es un número. Para ilustrar el procedimiento diviremos el polinomio //2x4 - 3x3 - 15x2 - 10x + 6// entre el polinomio //x - 3//. ==

== Para comenzar se obtienen los coeficientes del polinomio en orden decreciente y se escriben horizontalmente separados por espacios. Si falta el término de correspondiente a algún orden, se coloca cero en su lugar. Se escribe a la izquierda separado por una línea vertical el valor de //a// (que es el término independiente del divisor). Se dibuja una línea horizontal por debajo de //a//. Con esto queda planteada la división sintética, como se muestra en la figura. ==

Se multiplica el divisor por el número que se acaba de escribir debajo de línea horizontal. El producto se escribe arriba de la línea horizontal enla fila correspondiente al orden siguiente.
> ==Se suma el coeficiente del polinomio que está justo arriba del número obtenido en el paso anterior a ese número. El resultado se escribe debajo de la línea horizontal.== > ==Se repiten los pasos 3 y 4 hasta terminar escribiendo debajo de la línea horizontal la suma correspondiente al último orden.== > ==Se interpreta el resultado de la división. El último número es el residuo y los números anteriores son los coeficientes del cociente de orden //n - 1//.== > > ==Cociente: // 2 x3 + 3 x2 - 6 x - 28 //.== > ==Residuo: // - 78 //.==

2.3. Teorema sobre las raíces racionale
= = === **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">Un teorema dice que las posibles raíces enteras de un polinomio están dentro de los factores del coeficiente solitario, siempre que la potencia de mayor exponente este multiplicada al coeficiente -1 ** **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">Entonces factorizamos el polinomio por 2 ** **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">P(x) = 2x³ +x² -5x +2 ** **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">P(x) = 2(x³ +(x²/2) -(5x/2) +1) ** **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">Entonces, las posibles raíces del polinomio son los factores de 1, que son -1 y 1. Recuerda que una raíz de un polinomio es un valor que, cuando se sustituye por la variable, da como resultado cero ** **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">P(-1) = 2((-1)³ +((-1)²/2) -(5(-1)/2) +1) = 6 ** **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">x = -1 NO es raíz ** **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">P(1) = 2(1³ +(1²/2) -(5(1)/2) +1) = 0 ** **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">x = 1 es ua raíz ** **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">El teorema fundamental del algebra dice que un polinomio de grado "n" (grado es el mayor exponente al que esta elevado la variable) tiene "n" raíces reales o complejas ** **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">Ya encontramos una raíz, las otras 2 pueden ser fraccionarias, irracionales o complejas. ** **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">Si quieres encontrar las otras 2, hay que dividir el polinomio por su factor (x -1), por Ruffini. Si un polinomio tiene una raíz "r", entonces uno de los factores de este polinomio es (x -r). **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;"> === === **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">1º Te armas una tablita de 3 filas y n+2 columnas, donde "n" es el grado del dividendo o numerador **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;"> === === **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">2º En la primera fila pon de izquierda a derecha los coeficientes (factores) que multiplican a las potencias desde x^n hasta xº (recuerda que xº = 1). Si una variable elevada a un número entre "n -1" y "0" no está, entonces el coeficiente es 0. **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;"> === === **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">3º En la segunda fila en el casillero de más a la izquierda escribes "r", que en este caso es 1. **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;"> === === **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">4º Debajo del primer coeficiente colocas un 0, luego sumas 0 + el primer coeficiente y el resultado lo anotas abajo. **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;"> === === **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">5º El resultado que obtuviste lo multiplicas por "r" y lo colocas debajo del segundo coeficiente. **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;"> === === **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">6º Sumas el número que acabas de anotar + el coeficiente, y el resultado lo anotas debajo. **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;"> === === **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">7º Repetir los pasos 5º y 6º hasta que se acaben las columnas. **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;"> === === **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">8º El resultado será un polinomio de grado n -1, donde los números de la tercera fila serán los coeficientes de cada potencia de "x", y el último número de la tercera fila es el resto, que en este caso será 0 ** **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">. **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;"> ===

**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">|2 | 1 | -5 | 2 **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;">
=== **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">1 | 0 | 2 | 3 .| -2 ** **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">. **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;"> ===

**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">(x -1)(2x² +3x -2) **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;">
=== **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">Ahora hallamos las raíces provenientes del factor cuadrático, como su grado es 2, serán 2 raíces. Estas podemos calcularlas con la fórmula cuadrática, siendo ** **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">a = 2 ; b = 3 ; c = -2. SI olvidaste la fórmula, esta en este link **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;"> === === <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;">[|http://gduran2.files.wordpress.com/2008/…] <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;"> ===

**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; font-weight: normal;">-3 ±√3² -4 •2 •-2 **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;">
<span style="margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; mso-outline-level: 2; text-align: justify;">**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">x =2 •2-3 ±√9 +16 x ** <span style="margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; mso-outline-level: 2; text-align: justify;">**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">=4-3 ±√25 x ** <span style="margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; mso-outline-level: 2; text-align: justify;">**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">=4-3 ±5 x = ** <span style="margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; mso-outline-level: 2; text-align: justify;">**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">4-3 -5 x = ** <span style="margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; mso-outline-level: 2; text-align: justify;">**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">4-8 x = ** <span style="margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; mso-outline-level: 2; text-align: justify;">**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">4 x = -2-3 +5 x =4 ** <span style="margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; mso-outline-level: 2; text-align: justify;">**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">2 x =4 ** <span style="margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; mso-outline-level: 2; text-align: justify;">**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">1 x =2 ** <span style="margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; mso-outline-level: 2; text-align: justify;">**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">Acabamos de hallar las otras 2 raíces, que también resultaron ser racionales. La raíz x = -2 proviene del factor (x +2), y la raíz x = 1/2 proviene de (x -(1/2)). Por lo tanto P(x) = (x -1)(x +2)(x -(1/2)) x = 1 x = -2 x = 1/2 ** = 2.4. Regla de los signos de Descartes = ====<span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">** <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;">Rene Descartes (el mismo del plano cartesiano) encontró un método para indicar el número de raíces positivas en un polinomio. ** ==== ====<span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">** <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;">Esta regla dice lo siguiente:  ** ==== ====<span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">** <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;">"El número de raíces reales positivas de un polinomio f(x) es igual al número de cambios de signo de término a término de f(x)"  ** ==== ====<span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">** <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;">Hay que recordar que los polinomios los tenemos que escribir en orden decreciente conforme al grado de cada término. ** ==== ====<span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">** <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;">Por ejemplo el polinomio ** ==== ====<span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">** <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;">f(x)= x2 + x - 12 tiene un cambio de signo, del segundo al tercer término, por lo tanto tiene una raíz positiva. ** ==== <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">** <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;">g(x)= +x3 - 4 x2 + x + 6 tiene dos cambios de signo, tiene dos raíces positivas ** <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">** <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;">h(x)= +x4 - 5 x2 + 4 tiene dos raíces positivas ** <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">** <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;">i(x)= x3 + 4 x2 + 3 x No tiene cambios de signo, por lo tanto no tiene raíces reales positivas. ** <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">** <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt;">j(x)= x3 - 2 x2 - 5 x + 6 ¿Cuántas raíces positivas tiene?. ** <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 14pt; line-height: 115%;">