Unidad+6.-+Integración+Numérica.

Subtemas

6.1 Regla trapezoidal

La regla del trapecio está dada por: b Z a  f (x) dx ' b − a 2 [f (a)+ f (b)] si queremos programar esta regla sólo debemos tener en cuenta que los datos de entrada son a, b, f y el dato de salida es la aproximación. En MATLAB creamos una función que nos permita realizarlo. El código puede ser: function aprox=trapecio(f,a,b) f=inline(f); aprox=((b-a)/2)*(f(a)+f(b)) Recordemos que la segunda instrucción permite que MATLAB identiﬁque a f como una función que depende de la variable x. Para ejecutar la función en la ventana de comandos de Matlab digitamos trapecio(f,a,b); por ejemplo, si queremos aproximar 2 Z 0 e cos x  2 dx digitamos trapecio(’exp(cos(x^2))’,0,2) y obtenemos 3.23842892946396. Para un entero n ≥ 1 la regla de Trapecio compuesta esta dada por: b Z a  f (x) dx ' h 2 " f (a)+2  n−1 X  i=1  f (xi  )+ f (b)  #  donde h =  b − a  n  y xi = a + ih.  Si queremos programar esta regla debemos tener en cuenta que los datos de entrada son  a, b, n,f, el dato de salida es la aproximación, es necesario utilizar un ciclo interno que permita  generar xi para evaluarlo en f, multiplicarlo por dos y sumarlos. Creamos una función en  matlab que me permita realizarlo, el código será:  function aprox=tracom(f,a,b,n)  f=inline(f);  h=(b-a)/n;  aprox=f(a)+f(b);  for i=1:n-1  x=a+i*h;  aprox=aprox+2*f(x);  end  aprox=(h/2)*aprox;  Para aproximar la integral anterior empleando 10 subintervalos digitamos:  >> tracom(0exp(cos(xˆ2))0, 0, 2, 10) y obtenemos 3.22843406783607, al emplear  100 subintervalos empleamos la instrucción  >> tracom(0exp(cos(xˆ2))0, 0, 2, 100) y obtenemos 3.22335846450614.
 * REGLA DEL TRAPECIO **
 * REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTA **

6.2 Regla de Simpson

** REGLAS DE SIMPSON ** Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentación más fina, otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral es con el uso de polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto extra a la mitad del camino entre // f(a) yf(b), // los tres puntos se pueden conectar con una parábola (véase   figura 21.11a). Si hay dos puntos igualmente espaciados entre // f(a) // y // f(b), // los cuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden (véase la figura 21.116). Las fórmulas que resultan al tomar las integrales bajo esos polinomios son conocidas como // reglas de Simpson. //

** Regla de Simpson 1/3 ** La regla de Simpson 1/3 resulta cuando una interpolación polinomial de segundo orden es sustituida en la ecuación Si // a y b // se designan como x 0 y // x2, yf2{x) // e s representada por un polinomio de Lagrange   de segundo orden [véase ecuación (18.23)], la integral se transforma en // f*2 I Ixo // L   // (x-x\)(x-x2) (x-x0)(x-x2) //  // (x ftxo) + // - // -f{xi) 0 - xi)(x0 - x2) (x¡ - x0)(xi - x2) //  // (x -x0)(x // - // X \ ) //  // -f(x2) dx //  // [x2 -x0)(x2 - //// X \ )' // Después de la integración y manejo algebraico, resulta la siguiente fórmula: / = | [ / ( J f o ) + 4 / ( A, ) + // f(x2)] // (21.14) donde, para este caso, // h = (b — á)l2. // Esta ecuación es conocida como // regla de Simpson // // 1/3. // Es la segunda fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La especificación "1/3" surge del hecho de que // h // está dividida entre 3 en la ecuación (21.14). Una obtención alternativa se muestra en el cuadro 21.3 donde el polinomio de Newton-Gregory se integra para obtener la misma fórmula. La regla de Simpson 1/3 se expresa también con el uso del formato de la ecuación (21.5): // Iss(p-a) // / ( * o ) + * / ( *, ) + M ) (2U5)   Ancho Altura promedio   donde // a — x0, b — x2 y xx = // punto a la mitad del camino entre // a y b, // que está dado por   // (b + //// a //// )/2. // Observe que, de acuerdo con la ecuación (21.15), el punto medio está ponderado   por dos tercios y los dos puntos extremos por un sexto.  Se puede mostrar que una aplicación de un solo segmento de la regla de Simpson  1/5 tiwie un error de truncamiento de  Aplicación simple de la regla do Simpson 1/3  Enunciado del problema. Use la ecuación (21.15) para integrar  // f(x) = // 0.2 + 25* - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5    desde // a // = 0 a // b // 0.8. Recuerde que la integral exacta es 1.640533.   Solución.  /(O) = 0.2 /(0.4) = 2.456 /(0.8) = 0.232  Por tanto, la ecuación (21.15) se puede usar para calcular  / = 0 .8  0.2 + 4(2.456) + 0.232  6  = 1.367467  que representa un error exacto de  // E, = // 1.640533 - 1.367467 = 0.2730667 // e, = // 16.6% la cual es aproximadamente 5 veces más precisa que una aplicación simple de la regla trapezoidal (véase ejemplo 21.1). El error estimado es [véase ecuación (21.16)] (0.8)5 // Ea = // — // ' - ( - 2 // 400) = 0.2730667 2 880 donde —2 400 es el promedio de la cuarta derivada para el intervalo, como se obtuvo por medio de la ecuación (PT6.4). Como ocurrió en el caso del ejemplo 21.1, el error es  aproximado // (Ea) // y es debido a que el promedio de la cuarta derivada no es una estimación exacta de/*4 )(£). Sin embargo, como en este caso tiene que ver con polinomios de quinto orden, el resultado concuerda.  La regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple  Así como con la regla trapezoidal, la regla de Simpson se puede mejorar al dividir el  intervalo de integración en un número de segmentos de igual anchura  Observe que, como se ilustra en la figura 21.12, se debe utilizar un número par de segmentos  para implementar el método. Además, los coeficientes "4" y " 2 " en la ecuación  (21.18) podrían parecer peculiares a primera vista. Sin embargo, siguen en forma natural  la regla de Simpson 1/3. Los puntos nones representan el término medio para cada aplicación  y, por tanto, el peso de 4 en la ecuación (21.15). Los puntos pares son comunes en  las aplicaciones adyacentes y, por tanto, se cuentan dos veces.  Un error estimado para la aplicación de la regla de Simpson se obtiene en la misma forma que para la regla trapezoidal, sumando los errores individuales de los segmentos y sacando el promedio de la derivada para dar // F // - (¿> - a) 7(4) " ~ 180«4 J d o n d e / ( 4 ) es el promedio de la cuarta derivada para el intervalo.

** Regla de Simpson 3/8 ** En una manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y de Simpson 1/3, un polinomio de Lagrange de tercer orden se puede ajustar a cuatro puntos e integrarse: para obtener // nb rb / f(x)dx = / h(x)dx // // I Ja Ja // - H |./'(*,.) + 3/(.V|) + 3/(a2) + /(*.=  Regla de Simpson 3/8  En una manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y de Simpson 1/3, un  polinomio de Lagrange de tercer orden se puede ajustar a cuatro puntos e integrarse:  para obtener  // nb rb / f(x)dx = / h(x)dx //  // I Ja Ja // - H |./'(*,.) + 3/(.V|) + 3/(a2) + /(*.=

6.3 Método de Newton-Cotes

** Fórmulas de integración de Newton-Cotes **  i£ Las // fórmulas de integración de Newton-Cotes // son los esquemas de integración numérica más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar: // pb pb // // 1= //// f(x)dx = fn(x)dx // (21.1) // Ja Ja //  donde // fn(x) — // polinomio de la forma // f„(x) - //// a0 +a //// \X // H ha„ _ i A ' " _ i // + a //// „x" //  donde // n // es el orden del polinomio. Por ejemplo, en la figura 21.1a, se usa un polinomio  de primer orden (una línea recta) como una aproximación. En la figura 21.1 // b, // se emplea una parábola para el mismo propósito. La integral se puede también aproximar mediante una serie de polinomios aplicada por pedazos a la función o datos sobre segmentos de longitud constante. Por ejemplo, en la figura 21.2, se usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral. Pueden utilizarse polinomios de orden superior para los mismos propósitos. Con este anteceden- te, reconocemos que el "método de barras" en la figura PT6.6 emplea una serie de <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">polinomios de orden cero (es decir, constantes) para aproximar la integral. <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> Se dispone de formas cerradas y abiertas de fórmulas de Newton-Cotes. Las // formas // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// cerradas // son aquellas donde los datos al inicio y final de los límites de integración son <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">conocidos (véase figura 21.3 <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> a). Las // formas abiertas // tienen límites de integración que se <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">extienden más allá del rango de los datos (véase figura 21.3¿>). En este sentido, son <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">similares a las de extrapolación, como se analizó en la sección 18.5. Las formas abiertas <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">de Newton-Cotes no se usan por lo general para integración definida. Sin embargo, se <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">utilizan para evaluar integrales impropias y la solución de ecuaciones diferenciales ordi- <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">ntirins. Esto capítulo tnfktliM las formas cerradas. Sin embargo, se introduce de manera <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">breve el material sobre fórmulas abiertas de Newton-Cotes al final del capítulo. <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Geométricamente, la regla trapezoidal es equivalente a aproximar el área del <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> trapezoide bajo la línea recta que conecta // f(á) // y // f(b) // en la figura 21.4. Recuerde de <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">geometría que la fórmula para calcular el área de un trapezoide es la altura por el promedio <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">de las bases (véase figura 21.5a). En nuestro caso, el concepto es el mismo, pero el <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">trapezoide está sobre su lado (véase figura 21.5¿). Por tanto, la integral se representa <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">como <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">/ = ancho x altura promedio (21.4) <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">F I G U R A 2 1 .4 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Ilustración gráfica de la regla trapezoidal. <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">F I G U R A 2 1 .5 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">a) La fórmula para calcular el área de un trapezoide: altura por el promedio de las bases. <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">b) Para la regla trapezoidal, el concepto es el mismo pero ahora el trapezoide <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">está sobre su lado. <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// I // as // (b — a) // x altura promedio (21.5) <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">donde, para la regla trapezoidal, la altura promedio es el promedio de los valores de la <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> función en los puntos extremo, o // \f(a) + f(b)]/2. // <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Todas las fórmulas cerradas de Newton-Cotes pueden expresarse en el formato general <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">de la ecuación (21.5). De hecho, sólo difieren con respecto a la formulación de la <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">altura promedio.

<span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">2 1. 1 . 1 E R R O R D E L A R E G I A T R A P E Z O I D A L <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">bajo una curva, obviamente podemos incurrir en un error que puede ser sustancial <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">(véase figura 21.6). Una estimación para el error de truncamiento local de una sola <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">aplicación de la regla trapezoidal es (véase cuadro 21.2) <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">£ ( = - ^ / " ( © ( 6 - « ) 3 (21.6) <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> donde ¿¡ está en algún lugar en el intervalo de // a // a // b. // La ecuación (21.6) indica que si la <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">función sujeta a integración es lineal, la regla trapezoidal será exacta. De otra manera, <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">para funciones con derivadas de segundo orden y superior (es decir, con curvatura), <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">puede ocurrir algún error.

<span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">F I G U R A 2 1 .6 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Ilustración gráfica del uso de una sola aplicación de la regla trapezoidal para aproximar la <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> integral de // f[x) // = 0.2 + 2 5 x - 200x2 + Ó75*3 - WOx4 + // AOOx5 // de x = 0 a 0.8. <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Cuadro 2 1 . 2 Obtención y error estimado de la regla trapezoidal <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> Si se Una manera alternativa para la obtención de la regla trapezoida asume que para una // h // pequeña, el término/"^) es aproxi <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">es integrando la interpolación polinomial hacia adelante de madamente constante, esta ecuación se puede integrar: <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Newton-Gregory. Recuerde que para la versión de primer orden <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">con término de error, la integral podría ser (véase cuadro 18.2) <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// Jafia) + Afia)a + —^-aia - l)h2 // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// I = //// h // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// dx // (B21.2.1) y e v a i u a r Como <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// a2 (o? // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> «/(f l ) + y A / ( f l ) + - ~4~ // rm2 // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> Para simplificar el análisis, considere que como // a // = (x — // a)lh, // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// dx = hda // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> Debido a que // h — b — a // (para un segmento de la regla trapezoidal), <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> los límites de integración // a // y // b // corresponden a 0 y 1, <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">respectivamente. Por tanto, la ecuación (B21.2.1) se expresaría <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">como <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// / = h f(a) + // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// Afia) // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> Como // Af(a) // = /(6) // — fia), // el resultado podría escribirse como <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// I = h //// f //// ^+W //// -J-fxW // 2 12 <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// / =h ) + Afia)a + ^-^aia - \)h2 da // <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Regla trapezoidal Error de truncamiento <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Así, el primer término es la regla trapezoidal y el segundo es un;i <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">aproximación para el error.

<span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">EJEMPLO 21.1 Aplicación simple de la regla trapezoidal <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Enunciado del problema. Use la ecuación (21.3) para integrar numéricamente <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// fix) = // 0.2 + // 25x - 2Q0x2 // if // 675x3 // - 900.v4 + // 400x5 // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> desde // a — // 0 a // b // = 0.8. Recuerde de PT6.2 que el valor exacto de la integral se puedo <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">determinar en forma analítica y es 1.640533. <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Solución. Los valores de la función <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">/(O) = 0.2 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">/(0.8) = 0.232 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">pueden sustituirse en la ecuación (21.3) para dar <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">0.2 + 0.232 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">= 0.1728 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">la cual representa un error de <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">£, = 1.640533 - 0. 1 7 2 8 = 1.467733 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">que corresponde a un error relativo porcentual de e, = 89.5%. La razón para CNIC gratule <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">error os evidente de lu gráfica en la figura 21.6. Observe quo el áreu bajo 1» Uncu rccln no <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">t o m a e n cuenta u n a p o r c i ó n j t j g t f f l l c a t i va de l e i n t e g r a l que e i t á p o r a r r i b a de la l i <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">lin sitUBcione» actúala!, podríamos no conocer previumcnle el vulor reul. Por lunlo, <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">se requiere una aproximación del error estimado. Para obtener dicha estimación, lti «egunda <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">derivada de le (unción sobre el intervalo podría calcularse al diferenciar dos veces <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">la función original paru dur <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// f'ix) // = -400 + 4 050* - 10 800x2 + 8 OOOx3 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">El valor promedio de la segunda derivada se puede calcular mediante la ecuación (PT6.4): <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">0 .8 <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> (-400 + 4 050JC - 10 800x2 + 8 000x3) // dx // <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">I que podría sustituirse en la ecuación (21.6) para obtener <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">I =-^(-60)(0.8)3 = 2.56 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">\ la cual es del mismo orden de magnitud y signo que el error real. Sin embargo, existe una <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">| discrepancia, ya que, de hecho, para un intervalo de este tamaño el promedio de la se- <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">) gunda derivada no es necesariamente una aproximación exacta de/"(<j). Así, indicamos <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> j que el error es aproximado mediante la notación // Ea, // más exacto que usar // Et. //

<span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">2 1. 1 . 2 Aplicación múltiple de la regla trapezoidal <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Una forma de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es dividir el intervalo de integración <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> desde // a // a // b // en un número de segmentos y aplicar el método a cada uno de ellos <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">(véase figura 21.7). Las áreas de segmentos individuales se pueden entonces agregar <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">para dar la integral para todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes son llamadas <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// fórmulas de integración, de múltiple aplicación // o // compuestas. // <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">La figura 21.8 muestra el formato general y nomenclatura que usaremos para caracterizar <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> integrales de múltiple aplicación. Hay // n + // 1 puntos base igualmente espaciados <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// (x0, xx, x2,..., // x„). En consecuencia, hay « segmentos de igual anchura: <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// h = // (21.7) <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> Si // a // y // b // son designados como // x0 // y // xn, // respectivamente, la integral total se representará <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">como <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// / = í // ' // f(x)dx+ //// í //// /\\)<ix - / // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// J // \(i -MI // J // V„ <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// f(x)dx // <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Al sustituir ln regla trapezoidal puní etulu integral se obtiene <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">/ „. /,'/lUl) 1 '/U|) <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// 2 // + /, /'\ // 2 // !' 1, ... ., // 2 // ,/< *« » <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">o, mediante agrupación de términos, <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">M - l <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">/ ( * o ) + 2 £ / ( * ¡ ) + /(*») <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// h // <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">' = 2 (2i.y) <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">o, usando la ecuación (21.7) para expresar la ecuación (21.9) en el formato general do lu <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">ecuación (21.5), <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">/w+/&) 7 = ( 6 - c ) i—W—^ (21.10) <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">v ' i u".»i unm»»—Enmy—*•—•» i ' <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Ancho AltUItffom«llo <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> Como In sumtiloriii de ION coeficientes dc/(.\) en el numerador dividido entre // 2n // os ¡giinl <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">a I, hi ahina promedio lepicneula un promedio ponderado de los valores de la función, <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">De «cuenlo con ln'ccuitelrtn (21,10), los puntos interiores dnn dos veces el poso do los <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">(ION puntos ex (remo/'(.*„) y /(#,,). <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Un error para la regla trapezoidal de múltiple aplicación se puede obtener al sumar <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">los errores individuales de cada segmento para dar <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// (b // - // a)3 ^ „ // <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">E ' = Í 2 ¿ 3 - ¿ ^ & > (21-11) <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// i = \ // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> donde // f"(^¡) // es la segunda derivada en un punto %¡ localizado en el segmento // i. // Este <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">resultado se puede simplificar al estimar la media o valor promedio de la segunda derivada <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">para todo el intervalo como [véase ecuación (PT6.3)] <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">¿/"fe) <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// f„ ^ U // (21.12) <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// •' n // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> Por tanto 2/"(§,-) — // nf"y // la ecuación (21.11) se puede reescribir como <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// E a = - { b ' f f" // (21.13) <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">12n <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Así, si el número de segmentos se duplica, el error de truncamiento disminuirá a un <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">cuarto. Observe que la ecuación (21.13) es un error aproximado debido a la naturaleza <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">aproximada de la ecuación (21.12).

<span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">EJEMPLO 21.2 Regla trapezoidal de múltiple aplicación <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Enunciado del problema. Use dos segmentos de la regla trapezoidal para estimar la <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// l // integral de <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// f(x) // = 0.2 + // 25x - 200x2 + 615x3 // - 900JC4 + 400x5 <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> desde // a // = 0 hasta // b = // 0.8. Emplee la ecuación (21.13) para estimar el error. Recuerde <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">que el valor correcto para la integral es 1.640533. <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> Solución. // n — 2(h = // 0.4): <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">/(O) = 0.2 /(0.4) = 2.456 /(0.8) = 0.232 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">0.2 + 2(2.456) + 0.232 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">/ = 0.8 —• — = 1.0688 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">4 <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// E, = // 1.640533 - 1.0688 = 0.57173 // s, = // 34.9% <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// Ea = // — ^ r ( - 6 0 ) = 0.64 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">12(2)2 ' <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">¡ donde — 60 es el promedio de la segunda derivada, determinada antes en el ejemplo 21.1. <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">I <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// Los // resultados del ejemplo anterior, junto con de tres // a // dio/, segmentos do uplicuoión <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">de U regla trapezoidal, u rapjifjjMafldfcti&li 21.1. Observe cómo el error diiminu <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">ye en lauto gl númotHi d« Negmenlos uumentu. Sin embargo, observe tninbicn que in <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">razón de dlnmlnuoi6n M uradunl. listo OH debido a que el error está invcrsumcnlc relacionado <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> con el cuadrado de // n // | véiisc ecuación (21.13)]. Por lanío, ul duplicar el número de <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">segmentos diNtninuye en un cuarto el error. En las siguientes secciones desarrollaremos <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">fórmulas de orden superior que son más exactas y que convergen más rápido sobre In <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">integral real en tanto los segmentos aumentan. Sin embargo, antes de investigur esas <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">fórmulas, analizaremos los algoritmos de cómputo para implementar la regla trapezoidal.

<span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">2 1. 1 . 3 Algoritmos de cómputo para la regla trapezoidal <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">En la figura 21.9 se enlistan dos algoritmos simples para la regla trapezoidal. El primero <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">(véase figura 21.9a) es para la versión de un solo segmento. La segunda (véase figura <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> 21 // .9b) // es para la versión de múltiples segmentos con una anchura de segmento constante. <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Observe que ambos están diseñados para datos que se hallan en forma tabular. Un <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">programa general debería tener la capacidad de evaluar funciones conocidas, así como <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">ecuaciones. En el siguiente capítulo ilustraremos cómo se puede manejar esas funciones. <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">T A B L A 2 1. 1 Resultados de la regla trapezoidal <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">de aplicación múltiple para estimar <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> la integral de // f[x) // = 0.2 + // 25x- // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> 200X2 + // 675X3 // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> - 900X4 + // ÁOOx5 // <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">de x = 0 a 0.8. El valor exacto es <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">1.640533. <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> n // h // 1 et(%) <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">2 0.4 1.0688 34.9 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">3 0.2667 1.3695 16.5 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">4 0.2 1.4848 9.5 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">5 0.16 1.5399 6.1 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">6 0.1333 1.5703 4.3 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">7 0.1 143 1.5887 3.2 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">8 0.1 1.6008 2.4 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">9 0.0889 1.6091 1.9 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">10 0.08 1.6150 1.6

<span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">F I G U R A 2 1 .9 <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Algoritmos para la regla trapezoidal a) de <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">a) Un solo segmento <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// FUNCTION Trap (h, fO, fí) // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// Trap = h*(f0 + fí)/2 // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// END Trap // <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">solo segmento y b) de segmentos múltiples, <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">b) Segmentos múltiples <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// FUNCTION Trapm (h, n, f) // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// eum = f0 // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// D0¡=1,n-1 // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// eum = sum + 2 *f¡ // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// END DO // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// EsN //// T //// umD //// r //// = //// u //// e //// T //// um //// p r //// + //// mt //// f„ //// p mm //// h • eum / 2 // <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN Di NEWTON-COTES <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Un ejemplo de un programa de uso amigable para la regla Irapezoidal de múltiples <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">segmentos se incluye en el software suplementario de métodos numéricos TOOLKIT <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">contenido en este libro. Dicho software puede evaluar las integrales, bien de datos tabulados <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">o de funciones definidas por el usuario. El siguiente ejemplo demuestra su utilidad <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">para evaluar integrales. También proporciona una buena referencia para asegurar y probar <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">su propio software.

<span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">EJEMPLO 21.3 Evaluación de integrales con la computadora <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">j Enunciado del problema. Use el software de métodos numéricos TOOLKIT para re- <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">I solver un problema relacionado con nuestro amigo el paracaidista en caída. Como usted <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">| recordará del ejemplo 1.1, la velocidad del paracaidista está dada como la siguiente <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">| expresión en función del tiempo: <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> i>(0 = // gm // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// c // (1 _ // e-(clm),} // (E21.3.1) <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> donde // v // = velocidad (m/s), // g — // constante gravitacional de 9.8 m/s2, // m — // masa del <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> paracaidista igual a 68.1 kg y // c // = coeficiente de arrastre de 12.5 kg/s. El modelo predice <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">la velocidad del paracaidista como una función del tiempo, como se describió en el <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">ejemplo 1.1. <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Suponga que desea saber qué tan lejos ha caído el paracaidista después de cierto <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> tiempo // t. // Esta distancia está dada por [véase ecuación (PT6.5)] <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Jo <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// (t)dt // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> donde // d // es la distancia en metros. Sustituyendo en la ecuación (E21.3.1), <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// d = f // (i _ // e-(c'm)') dt // <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">// c Jo // <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Use el software de métodos numéricos TOOLKIT, y su propio software, para determinar <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">esta integral con la regla trapezoidal de aplicación múltiple mediante diferentes números <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">de segmentos. Observe que al desarrollar la integración en forma analítica y sustituir los <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> valores de parámetros conocidos se obtiene un valor exacto de // d — // 289.43515 m. <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Solución. Presione el botón de la función Intégrate en el menú principal del TOOLKIT <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">para obtener una pantalla en blanco similar a la de la figura 21.10. Esta pantalla contiene <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">la información de entrada y salida necesaria para integrar una función analítica o datos <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">tabulares. <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Primero, puede hacer clic en la tabla de función de entrada e introducir la función, <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> 9.8(68.1) H // v //// (t) // = (1 — i 12.5 v ,-(12.5/68.1)1 ) <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Después haga clic en el bloque de entrada de parámetros e introduzca los valores para <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">los límites de integración inferior y superior de 0 a 10. Luego, introduzca el valor 10 para <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">el número de segmentos junto con las dimensiones de la gráfica <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">Después de hacer clic en los botones Cale y Plot, se despliega una integral calculada <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">de 288.7491. Así, hemos obtenido la integral con tres cifras significativas de exactitud, <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> La integral es equivalente al área bajo la curva // v(t) // contra // t, // como se muestra en la figura <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">21.10. Una inspección visual confirma que la integral es ei ancho del intervalo (10 s) por <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">la altura promedio (cerca de 29 m/s). Una gráfica de la función que expone los segmentos <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">se muestra en la figura 21.10. Podemos tratar con otros números de segmento de unu <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> manera conveniente. Con // n — // 500, el resultado es exacto hasta seis cifras significativas. <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">En este punto, es importante reconocer que el TOOLKIT de métodos numéricos usa <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">doble precisión para obtener su estimación de la integral. Podemos, por tanto, repetir <span style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;"> este problema con un programa basado en el pseudocódigo de la figura 21 // .9b // y emplear <span style="font-size: 12pt; line-height: normal; margin-bottom: 0cm; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding: 0px;">números de simple precisión (por ejemplo, cerca de siete cifras significativas de precisión).