Unidad+4.-+Ecuaciones+lineales.

Subtemas **4.1. Vectores y matrices (por Vigil)** **//__Vector__//**: es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud fisica del cual depende únicamente un modulo (o longitud) y una dirección (u orientacion) para quedar definido. Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en planos R^2 o R^3; es decir, bidimensional o tridimensional.Ejemplos- La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige. - La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que opera. - El desplazamiento de un objeto.Aquellas magnitudes físicas, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., quedan completamente definidas dando un dato numérico y tambien llevan asociadas una dirección. Estas magnitudes son llamadas vectoriales. Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede ser representada mediante la suma de sus componentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas. Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector y la "punta de flecha" indica su dirección. __Tipos de vectores__: Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:- Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.- Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.- Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.Podemos referirnos también a: - Vectores unitarios: vectores de módulo unidad. - Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos). - Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, pero dirección contraria. - Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción. - Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano). __Componentes de un vector:__ Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial. En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por i, j, k, paralelos a los ejes de coordenadas //x//, //y//, //z// positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas: (a ﻿ ﻿x, a ﻿﻿ ﻿ ﻿y , a ﻿z ). O expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será a = a ﻿ ﻿x i + a ﻿﻿ ﻿ ﻿y j + a ﻿z k.//**__Matrices__**//: Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos a ﻿ij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales. Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila //i// y la columna //j// se escribe a ﻿ij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (a ﻿ij )Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de lineas. El numero total de elementos de una matriz Am×n es m·n. En matematicas, tanto las listas como las tablas reciben el nombre generico de matrices. Se representa por At ó AT || || __Diagonal principal__ : //son los elementos a//11 //, a//22 //, ..., a//nn __Diagonal secundaria__ : //son los elementos a//ij //con// i+j = n+1 __Traza__ de una matriz cuadrada : //es la suma de los elementos de la diagonal principal// tr A. || Diagonal principal : Diagonal secundaria : || A = At, //a//ij = //a//ji || || A = -At, //a//ij = //-a//ji //Necesariamente a//ii //=// 0 || || La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1. || || A·A-1 = A-1·A = I ||  ||
 * // Tipo de matriz // || // Definición // || // Ejemplo // ||
 * FILA || // Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden// 1×n || [[image:http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T6_Image4.gif width="121" height="25"]] ||
 * COLUMNA || // Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden// m×1 || [[image:http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T6_Image5.gif width="84" height="73"]] ||
 * RECTANGULAR || // Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columna s, siendo su orden m×n ,// [[image:http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T6_Image6.gif width="39" height="15" align="middle"]] || [[image:http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T6_Image7.gif width="156" height="73"]] ||
 * TRASPUESTA || //Dada una matriz// A//, se llama traspuesta de// A //a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.//
 * OPUESTA || //La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de// A //es// -A. || [[image:http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T6_Image9.gif width="232" height="73"]] ||
 * NULA || //Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n// || [[image:http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T6_Image10.gif width="122" height="62"]] ||
 * CUADRADA || //Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciendose que la matriz es de __orden n__.//
 * SIMÉTRICA || //Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.//
 * ANTISIMÉTRICA || //Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.//
 * DIAGONAL || //Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal// || [[image:http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T6_Image14.gif width="117" height="73"]] ||
 * ESCALAR || //Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales// || [[image:http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T6_Image15.gif width="108" height="73"]] ||
 * IDENTIDAD || //Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a// 1. //Tambien se denomina matriz unidad.// || [[image:http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T6_Image16.gif width="100" height="73"]] ||
 * TRIANGULAR || //Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.// || [[image:http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T6_Image17.gif width="253" height="96"]] ||
 * ORTOGONAL || //Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible :// A-1 = AT
 * NORMAL || //Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.// || [[image:http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T6_Image19.gif width="93" height="66"]] ||
 * INVERSA || //Decimos que una matriz cuadrada// A //tiene inversa,// A-1, //si se verifica que ://

En matematicas, la multiplicación o producto de matrices es la operacion de multiplicación que se efectúa entre dos matrices, o bien entre una matriz y un escalar. Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de resolverla. El algoritmo que resuelve la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad. __Multiplicacion de una matriz por un escalar__: Dada una matriz //A// de //m// filas y //n// columnas, lo que podemos denotar como: la multiplicación de //A// por un escalar //k//, que se denota //k·A//, //k×A// o simplemente //kA//, está definida como: es decir, corresponde a la matriz conformada por cada elemento de la matriz multiplicado por dicho escalar. La multiplicación por escalar es análoga a la suma o resta de matrices, y cumple con las mismas características de la multiplicación aritmética. En efecto, podemos llegar al mismo resultado sumando //k// veces la misma matriz //A// entre sí. __Propiedades de la multiplicacion de una matriz por un escalar:__ Sean //A//, //B// matrices y //c//, //d// escalares, la multiplicación de matrices por escalares cumple con las siguientes propiedades: - De escalar - De matriz || //c(A+B) = cA+cB// //(c+d)A = cA+dA// ||
 * 4.2. Multiplicación de matrices (por Vigil)**
 * Gráficamente, si || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/4/6/9/469f4c1438becb709c098ccfcc86d4f9.png]] || y || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/7/c/c/7cc4b00f406383bf2add6a56c173a631.png]] || entonces || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/c/d/7/cd7655f080bf6a662ba48a4cbf10e2b1.png]] ||
 * Propiedad || Descripción ||
 * Clausura || cA es también una matriz ||
 * Elemento neutro || Existe el elemento neutro uno, de manera que 1·A = A ||
 * Propiedad asociativa || (cd)A = c(dA) ||
 * Propiedad distributiva

__Multiplicacion de una matriz por una matriz:__ Dadas dos matrices //A// y //B//, tales que el número de columnas de la matriz //A// es igual al número de filas de la matriz //B//; es decir: y la multiplicación de //A// por //B//, que se denota //A·B//, //A×B// o simplemente //AB//, está definida como: donde cada elemento //ci,j// está definido por:
 * Gráficamente, si || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/4/6/9/469f4c1438becb709c098ccfcc86d4f9.png]] || y || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/9/7/e/97e2eec33bea307f6c0de998b3245c7a.png]] ||


 * entonces || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/e/9/6/e96c55e97681a1aaf2d05af161e905c4.png]] ||

__Propiedades de la multiplicacion de una matriz por una matriz:__ Sean //A//, //B// y //C// matrices para las cuales la multiplicación entre ellas está bien definida, es decir, tales que sus elementos pertenecen a un cuerpo donde la multiplicación está definida, y de manera que el número de filas y de columnas permite realizar la multiplicación; entonces se cumplen las siguientes propiedades: - Por la derecha - Por la izquierda || //(A + B)C = AC + BC// //C(A + B) = CA + CB// || El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, **AB ≠ BA**. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente **A / B**, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas. Finalmente, note que tanto la multiplicación de una matriz por un escalar, como la multiplicación de dos escalares, puede representarse mediante una multiplicación de dos matrices. 4.3. Métodos directos(equipo 4)
 * Propiedad || Descripción ||
 * Clausura || AB es también una matriz ||
 * Elemento neutro || Si A es una matriz cuadrada de tamaño m, entonces la matriz identidad Im×m es elemento neutro, de manera que I·A = A ||
 * Propiedad asociativa || (AB)C = A(BC) ||
 * Propiedad distributiva
 * METODOS DIRECTOS**

Puesto que ya se determinó el sistema con el cual se trabajará, ahora se centrará la [|atención] en la programación de los métodos directos. La [|lógica] de los algoritmos([|procedimientos] no ambiguos que resuelven problemas),sugieren que el cuerpo de la implementación sea: 1)Captura de los [|datos] de entrada. 2)Implementación de un método directo. 3)Implementación de los procedimientos progresivos y regresivos que llevan a la solución. 4)Salida y presentación de los resultados. Se explicara solo los detalles del método de Doolittle, cuya lógica es aplicable a los restantes métodos directos respecto a los itenes
 * 1) y 3).
 * DOOLITTLE**

(Captura de los datos de entrada) ¿Que es lo que necesita un método directo para [|poder] empezar? Resulta lógico pensar que necesita A y b (Ax=b), pero si esto se hace pidiéndole al usuario que digite A y luego b, se corre el [|riesgo] que digite mal los datos, además resulta muy cansado hacerlo. Podría además digitar un tamaño de matriz que no corresponde a la matriz. Para aminorar un poco el riesgo, se le pedirá al usuario que ingrese la matriz aumentada del sistema, de la cual se sacará la [|información] necesaria para que el método funcione. Como el tamaño de A es n*n, el tamaño de la matriz aumentada es n*n+1, puesto que se incluye a "b"(una columna mas). El [|algoritmo] de captura quedaría como: b(i)=matriz(i,n+1) (determinar "b") Para j=1, n haga A(i,j)=matriz(i,j) (determinar "A") Finpara Finpara 4- b1=transpuesta(b) ("b" es un vector columna) **DOOLITTLE** Se utilizará un sistema de 3*3 y 4*4 para ver el comportamiento de "c" en L*c=b, y de "x" en Ux=c. L*c=b c(1)=b(1) c(2)=b(2)-[l(2,1)*c(1)] c(3)=b(3)-[l(3,1)*c(1)+l(3,2)*c(2)] c(1)=b(1) c(2)=b(2)-[l(2,1)*c(1)] c(3)=b(3)-[l(3,1)*c(1)+l(3,2)*c(2)] c(4)=b(4)-[l(4,1)*c(1)+l(4,2)*c(2)+l(4,3)*c(3)] Es facil observar, que lo que se esta efectuando entre corchetes([]), es una sumatoria. También se observa que en L(i,j), i<>j y i>j Además, de c(2) a c(n) se tiene que para L(i,j), i=2,n y j=1,n-1 Entonces el esquema para c quedaria como: c(1)=b(1) c(i)=b(i)-Sumatoria(L(i,j)*c(i)), i<>j y i>j para todo L(i,j) con i=2,n y j=1,n-1 El [|procedimiento] que resume este comportamiento es: c(1)=b(1) Para i=2,n haga z=0 Para j=1,n-1 haga Si i<>j y i>j entonces z=z+L(i,j)*c(j) Finsi Finpara c(i)=b(i)-z Finpara Ux=c x(3)=c(3)/u(3,3) x(2)={c(1)-[u(2,3)*x(3)]}/u(2,2) x(1)={c(1)-[ u(1,3)*x(3)+u(1,2)*x(2) ]}/u(1,1) x(4)=c(4)/u(4,4) x(3)={c(3)-[u(3,4)*x(4)]}/u(3,3) x(2)={c(2)-[u(2,4)*x(4)+u(2,3)*x(3)]}/u(2,2) x(1)={c(1)-[u(1,4)*x(4)+u(1,3)*x(3)+u(1,2)*x(2)]}/u(1,1) Es facil observar, que lo que se esta efectuando entre corchetes([]), es una sumatoria. También se observa que en U(i,j), i<>j y ij y ij y iEl **método de Gauss ** es una generalización del **método de reducción **, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del **método de reducción **, utilizando los **criterios de equivalencia ** de sistemas (comentados en el epígrafe 2), para transformar la **matriz ampliada con los términos independientes ** ( **A* ** ) en una **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">matriz triangular **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">escalonado **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tres incógnitas, ..., y la primera todas las incógnitas. El siguiente esquema muestra cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicando este método. <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">Partimos, inicialmente, de un sistema de **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">n ecuaciones lineales **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">con **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> n incógnitas **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">, **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> compatible determinado **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">:
 * 1) Lea matriz
 * 2) Tam=tamaño(matriz)
 * 3) Para i=1, n haga
 * (Implementación de los procedimientos progresivos y regresivos que llevan a la solución.)**

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">En primer lugar, aplicando sucesivamente el método de reducción, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en la primera, la incógnita **<span style="color: red; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">x1 **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">, obteniéndose un sistema equivalente:

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">En segundo lugar, aplicando nuevamente el método de reducción de forma sucesiva, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en las dos primeras, la incógnita **<span style="color: red; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">x2 **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">, obteniéndose un sistema equivalente:

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">En tercer lugar, aplicando sucesivamente el método de reducción, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en las tres primeras, la incógnita **<span style="color: red; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">x3 **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">, y así sucesivamente, hasta obtener el siguiente sistema equivalente:

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">Para **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">resolverlo **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> despejamos, en primer lugar, la única incógnita de la última ecuación. Luego sustituimos ésta en la penúltima ecuación y despejamos la otra incógnita. Posteriormente, sustituimos dos de las tres incógnitas de la antepenúltima ecuación por sus valores y despejamos la que queda, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación. <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">El siguiente botón abre una ventana que explica, mediante un ejemplo, el procedimiento a seguir. <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">Hemos visto como podemos resolver un **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">sistema compatible determinado **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> aplicando el **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">método de Gauss **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">, pero **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">¿Cómo podemos discutir la compatibilidad o incompatibilidad de cualquier sistema de ecuaciones lineales con éste método? ** <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">Consideremos un sistema de **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">m ** **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">ecuaciones lineales **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> con **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">n ** **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">incógnitas **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">:

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">Sea **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">A* **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> la matriz ampliada del sistema con los **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">términos independientes **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">, es decir: <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">Las **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">transformaciones **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> que podemos realizar en dicha matriz para transformar el sistema inicial en otro **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">equivalente **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> son las siguientes: · <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero. · <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">Sumarle o restarle a una fila otra fila. · <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero. · <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">Cambiar el orden de las filas. · <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del sistema, teniendo en cuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente. Es decir: si, por ejemplo, la 2ª columna corresponde a la incógnita **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">y **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> y la tercera a la incógnita **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">z **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">, y cambiamos el orden de las columnas, ahora la 2ª columna corresponde a la incógnita **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">z **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> y la tercera a la incógnita **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">y **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">. · <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras. · <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">Eliminar filas nulas **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">(0 0 0 ... 0) **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">. <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">Después de realizar las **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">transformaciones **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> que se consideren pertinentes, se obtendrá un **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">sistema escalonado **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">. Suponiendo que hubiésemos eliminado, si las hubiera, las filas nulas **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">(0 0 0 ... 0) **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">, que corresponden a ecuaciones del tipo **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">0 = 0 **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">, el **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">sistema equivalente **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> tendría ahora **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">k ecuaciones lineales **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">con **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> n incógnitas **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">. Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusión del siguiente modo: <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">El siguiente botón abre una ventana que muestra, mediante un ejemplo, este caso.
 * <span style="color: red; font-family: 'Verdana','sans-serif';">◊ **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> Si alguna de las ecuaciones es del tipo **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">0 = b **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> (siendo **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">b **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> distinto de cero), el sistema es **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> incompatible **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> y no tiene solución.

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">El siguiente botón abre una ventana que ilustra, con un ejemplo, esta situación.
 * <span style="color: red; font-family: 'Verdana','sans-serif';">◊ **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> Si no hay ecuaciones del tipo **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">0 = b **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">, y además **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">k = n **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">, es decir, el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">compatible determinado **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> y, por lo tanto, tiene una única solución.

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">El siguiente botón abre una ventana que, a través de un ejemplo, presenta este caso.
 * <span style="color: red; font-family: 'Verdana','sans-serif';">◊ **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> Si no hay ecuaciones del tipo **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">0 = b ** <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">y **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">k < n **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">, es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">compatible indeterminado **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">principales **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> de las **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">no principales **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">. Pero, **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">¿cuáles son las incógnitas principales? **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> Se puede dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">k ecuaciones **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">, las **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">k primeras incógnitas **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> serán las **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">principales **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> y las **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">n - k **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> restantes serán las **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">no principales **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> que pasaremos al segundo miembro como **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">parámetros **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">.

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">La siguiente **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">escena **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;"> efectúa la discusión y resuelve, en los casos que proceda (sistema compatible determinado o indeterminado), cualquier sistema de ecuaciones lineales, utilizando el **<span style="color: #993366; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">método de Gauss **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 10pt;">. El número máximo de ecuaciones y de incógnitas que puede tener el sistema es

4.3.2. Método de Gauss-Jordan(amairany) En [|matemáticas], la **eliminación Gaussiana**, **eliminación de Gauss** o **eliminación de Gauss-Jordan**, llamadas así debido a [|Carl Friedrich Gauss] y [|Wilhelm Jordan], son [|algoritmos] del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. <span class="goog_qs-tidbit goog_qs-tidbit-0">Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada [|ecuación] tiene una incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "[|forma escalonada]". El método fue presentado por el matemático [|Carl Friedrich Gauss], pero se conocía anteriormente en un importante libro matemático chino llamado //Jiuzhang suanshu// o //Nueve capítulos del arte matemático//.[//[|cita requerida]//]

Análisis de Complejidad
La complejidad computacional de la eliminación gaussiana es aproximadamente //n//3. Esto es, el número de operaciones requeridas es //n//3 si el tamaño de la matriz es //n// × //n//.

Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan
Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a [|Wilhelm Jordan]), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida
 * 1) Ir a la columna no cero extrema izquierda
 * 2) Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga
 * 3) Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él
 * 4) Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la [|submatriz] restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escalón)
 * 5) Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de este sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes

Ejemplo
Supongamos que es necesario encontrar los números //x//, //y//, //z//, que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones: Esto es llamado un [|sistema lineal de ecuaciones]. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas: Estas operaciones pueden representarse con [|matrices elementales] que se usan también en otros procedimientos como la [|factorización LU] o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica. En nuestro ejemplo, eliminamos //x// de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es: Ahora eliminamos //y// de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar //y//. Finalmente eliminamos //z// de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar //z//. Despejando, podemos ver las soluciones: Para clarificar los pasos (y es en realidad lo que las computadoras manejan), se trabaja con la [|matriz aumentada]. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial: Primero: Después, Por último. Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta: Que representa la ecuación: 0//x// + 0//y// + 0//z// = 1 , es decir,  0 = 1  que no tiene solución.
 * Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
 * Intercambiar de posición dos ecuaciones
 * Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Forma escalonada y escalonada reducida
Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puede tener las siguientes propiedades: Si una matriz //A// cumple con esas propiedades, se dice **escalonada**. Además, cumpliendo estas otras condiciones, decimos que la matriz se encuentra en la forma **reducida de renglón escalón** o tan solo en forma **escalonada reducida**. Cuando una matriz representa a un sistema de ecuaciones situaciones como tener una columna de ceros parece imposible ya que correspondería a una variable que nunca habría aparecido. Sin embargo esta situación puede presentarse (imaginemos la ecuación de un plano en el espacio en la que no aparece alguna de las componentes, por ejemplo y+z=0). Así la matriz también es una matriz escalonada. Una vez que la matriz del sistema se ha transformado hasta obtener una matriz escalonada reducida es muy fácil discutirlo (es decir, determinar cuántas soluciones tiene):
 * 1) Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz.
 * 2) El elemento delantero de cada fila diferente de cero, éste es llamado "pivote"; éstos están a la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).
 * 1) Todos los elementos delanteros ("pivotes") son iguales a 1
 * 2) Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos.
 * 1) Cuando aparece un pivote en la columna de los términos independientes el sistema es incompatible (no tiene ninguna solución).
 * 2) En otro caso el sistema es compatible. Si además el número de pivotes coincide con el número de incógnitas el sistema es compatible determinado (tiene una única solución). Cuando el número de pivotes es menor que el número de incógnitas el sistema es indeterminado (tiene infinitas soluciones que dependen de tantos parámetros como indique la diferencia entre el número de incógnitas y el número de pivotes).

Encontrando la inversa de una matriz
Es posible usar la eliminación gaussiana para encontrar [|inversas de matrices] //n// × //n//. Para ello se aumenta la matriz dada, digamos //A// con una matriz identidad simplemente escribiendo las filas de la identidad a continuación de las de nuestra matriz //A//, por ejemplo dada: se construiría y ahora se realizan las operaciones elementales sobre las filas de la matriz aumentada que sean necesarias para obtener la forma escalonada reducida de la matriz //A//; sumando tanto a la segunda como a la tercera fila la primera obtenemos multiplicamos la segunda fila por -1 y la intercambiamos con la primera ya tenemos el pivote de la primera fila que usamos para hacer ceros debajo ahora usamos el pivote de la segunda fila y por último cambiamos de signo la tercera fila y usamos el pivote correspondiente El proceso ha finalizado porque en la parte izquierda tenemos la forma escalonada reducida de //A// y puesto que ésta es la [|matriz identidad], entonces //A// tiene inversa y su inversa es la matriz que aparece a la derecha, en el lugar que al principio ocupaba la identidad. Cuando la forma escalonada reducida que aparece no es la identidad es que la matriz de partida no tiene inversa. 4.4. Métodos iterativos.(nancy) =Método iterativo=

En [|matemática computacional], un **método iterativo** trata de resolver un problema (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante [|aproximaciones] sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial. Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones //Ax//=//b// encontrando la inversa de la [|matriz] A). Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible. Puntos fijos atractivos Si una ecuación puede ponerse en la forma //f//(//x//) = //x//, y una solución **x** es un [|punto fijo] atractivo de la [|función] //f//, entonces puede empezar con un punto //x//1 en la base de atracción de **x**, y sea //x////n//+1 = //f//(//x////n//) para //n// ≥ 1, y la secuencia {//x////n//}//n// ≥ 1 convergerá a la solución **x**.

Sistemas lineales
En el caso de un [|sistema lineal de ecuaciones], las dos clases principales de métodos iterativos son los **métodos iterativos estacionarios** y los más generales métodos del [|subespacio de Krylov]

Métodos iterativos estacionarios
Los métodos iterativos estacionarios resuelven un sistema lineal con un [|operador] que se aproxima al original; y basándose en la medida de error (el residuo), desde una [|ecuación de corrección] para la que se repite este proceso. Mientras que estos métodos son sencillos de derivar, implementar y analizar, la convergencia normalmente sólo está garantizada para una clase limitada de matrices.

Métodos del subespacio de Krylov
Los métodos del subespacio de Krylov forman una [|base ortogonal] de la secuencia de potencias de la matriz por el residuo inicial (la **secuencia de Krylov**). Las aproximaciones a la solución se forman minimizando el residuo en el subespacio formado. El método prototípico de esta clase es el [|método de gradiente conjugado]. Otros métodos son el [|método del residuo mínimo generalizado] y el [|método del gradiente biconjugado].

Convergencia
Dado que estos métodos forman una base, el método converge en //N// iteraciones, donde //N// es el tamaño del sistema. Sin embargo, en la presencia de errores de redondeo esta afirmación no se sostiene; además, en la práctica //N// puede ser muy grande, y el proceso iterativo alcanza una precisión suficiente mucho antes. El análisis de estos métodos es difícil, dependiendo de lo complicada que sea la función del [|espectro] del operador.

Precondicionantes
El operador aproximativo que aparece en los métodos iterativos estacionarios puede incorporarse también en los métodos del subespacio de Krylov, donde se pasan de ser transformaciones del operador original a un operador mejor condicionado. La construcción de precondicionadores es un área de investigación muy extensa.

Historia
Probablemente, el primer método iterativo apareció en una carta de [|Gauss] a un estudiante. Proponía resolver un sistema 4 por 4 de ecuaciones mediante la repetición de la solución del componente donde el residuo era mayor. La teoría de métodos estacionarios se estableció sólidamente con el trabajo de [|D.M. Young], que empezó en la [|década de 1950]. El método del gradiente conjugado se inventó en esa misma década, con desarrollos independientes de [|Cornelius Lanczos], [|Magnus Hestenes] y [|Eduard Stiefel], pero su naturaleza y aplicación se malentendieron en esa época. Sólo en la década de 1970 se puso de manifiesto que estos métodos funcionan muy bien para resolver [|ecuaciones de derivadas parciales], especialmente del tipo elíptico. 4.4.1. Método de Jacobi (por martin) [[|ocultar]]
 * ==Contenido==
 * [|1] [|Descripción]
 * [|2] [|Convergencia]
 * [|3] [|Algoritmo]
 * [|4] [|algoritmo en java]
 * [|5] [|Ejemplo]
 * [|6] [|Enlaces externos] ||

Descripción
La base del método consiste en construir una [|sucesión] [|convergente] definida [|iterativamente]. El límite de esta sucesión es precisamente la solución del sistema. A efectos prácticos si el algoritmo se detiene después de un número finito de pasos se llega a una aproximación al valor de //x// de la solución del sistema. La sucesión se construye descomponiendo la [|matriz] del sistema en la forma siguiente: > donde , es una [|matriz diagonal]., es una [|matriz triangular] inferior., es una matriz triangular superior. Partiendo de, podemos reescribir dicha ecuación como: > Luego, > Si a//ii// ≠ 0 para cada //i//. Por la regla iterativa, la definición del **Método de Jacobi** puede ser expresado de la forma: > donde //k// es el contador de iteración, Finalmente tenemos: > Cabe destacar que al calcular //x////i//(//k//+1) se necesitan todos los elementos en //x//(//k//), excepto el que tenga el mismo //i//. Por eso, al contrario que en el [|método Gauss-Seidel], no se puede sobreescribir //x////i//(//k//) con //x////i//(//k//+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión //n//, y será necesario realizar un copiado explícito.

Convergencia
El método de Jacobi siempre converge si la matriz //A// es [|estrictamente diagonal dominante] ρ(//D// − 1//R//) < 1. y puede converger incluso si esta condición no se satisface. Es necesario, sin embargo, que los elementos de la diagonal en la matriz sean mayores (en magnitud) que los otros elementos.

Algoritmo
El método de Jacobi se puede escribir en forma de [|algoritmo] de la siguiente manera: x //0// es una aproximación inicial a la solución**para** **hasta** convergencia **hacer****para**  **hasta**  **hacer****para**  **hasta**  **hacer****si**  **entonces****fin para****fin para**comprobar si se alcanza convergencia**fin para** ||
 * **Algoritmo** Método de Jacobi ||
 * **función** Jacobi ( //A//, //x//0 )

algoritmo en java
code public class Jacobi {

code double [][]matriz={{4,-2,1},{1,-5,3},{2,1,4}}; double []vector={2,1,3}; double []vectorR={1,2,3}; double []x2=vectorR; double sumatoria=1; int max=50; code public void SolJacobi{ int tam = matriz.length;

code for (int y = 0; y < 10; y++) { code System.out.println("\nvector " + y + "\n"); for(int t=0;t>max;t++){ x2=vectorR.clone; for (int i = 0; i < tam; i++) { sumatoria=0; for (int s = 0; s < tam; s++) { if(s!=i)sumatoria += matriz[i][s]*x2[s];

code } vectorR[i]=(vector[i]-sumatoria)/matriz[i][i]; code System.out.print(" " + vectorR[i]);

code } } } } public static void main(String[] args) { code Jacobi obj=new Jacobi; obj.SolJacobi;

code } }

Ejemplo
Un sistema linear de la forma //A////x// = //b// con una estimación inicial //x//(0) esta dado por Usamos la ecuación //x//(//k// + 1) = //D// − 1(//b// − //R////x//(//k//)), descrita anteriormente, para estimar //x//. primero, re-escribimos la ecuación de una manera mas conveniente //D// − 1(//b// − //R////x//(//k//)) = //T////x//(//k//) + //C//, donde //T// = − //D// − 1//R// y //C// = //D// − 1//b//. vea que //R// = //L// + //U// donde //L// y //U// son las partes superior e inferior de //A//. de los valores conocidos. PRODUCTO: La eliminación de incógnitas Es un método algebraico que se ilustra con un sistema de dos ecuaciones simultáneas: A11 x1+ a12x2= b1       A21x 1 + a22x2 =b2 La estrategia básica consiste en multiplicar las ecuaciones por constante, de tal forma que se elimine una de las incógnitas cuando combinen las dos ecuaciones. El resultado es una sola ecuación en la que se puede despejar la incógnita restante. Este valor se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para calcular la otra variable. La eliminación de incógnitas se puede extender a sistemas con más de tres ecuaciones. Sin embargo los múltiples cálculos que se requieren para sistemas más grandes hacen que el método sea extremadamente tedioso para realizarse a mano. Eliminación de gauss simple El procedimiento consiste en dos pasos : 1) Las ecuaciones se manipulan para eliminar una de las incógnitas de las ecuaciones. El resultado de este paso de eliminación fue el de una sola ecuación con una incógnita       2) En consecuencia esta ecuación se pudo resolver directamente y el resultado sustituirse atrás en una de las ecuaciones originales para encontrar la incógnita restante. Esta técnica básica puede extenderse a sistemas grandes de ecuaciones desarrollando un esquema sistemático o algorítmico para eliminar incógnitas y sustituir hacia atrás la eliminación de gauss. Como en el caso de dos ecuaciones, la técnica para resolver n ecuaciones consiste en dos fases: la eliminación de las incógnitas y su solución mediante sustitución hacia atrás Eliminación hacia delante de la incógnitas: la primera fase consiste en reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior. El paso inicial será eliminar la primera incógnita x1 desde la segunda hasta n-esima ecuación. Conteo de las operaciones El tiempo de ejecución en la eliminación gaussiana de pende de la cantidad de operaciones con un punto flotante usadas en el algoritmo. Dificultades en los métodos de eliminación Existen algunas dificultades que se deben analizar, antes de escribir un programa de computo general donde se implementa el método. División entre cero Durante las fases de eliminación y sustitución hacia atrás es posible que ocurra una división entre cero. También se puede presentar un problema cuando un coeficiente está muy cercano a cero. La técnica de pivoteo se ha desarrollado para evitar en forma parcial estos problemas. Errores de redondeo El problema llega a volverse particularmente importante cuando se trata de resolver un gran número de ecuaciones. Esto se debe al hecho de que cada resultado depende del anterior. Por consiguiente un error de los primeros pasos tiende a propagarse, es decir, a causar errores en los siguientes pasos. Resulta complicado especificar el tamaño de los sistemas donde los errores de redondeo son significativos. Sistemas mal condicionados Lo adecuado de una solución depende de la condición del sistema. Los sistemas bien condicionados son aquellos en los que un pequeño cambio en uno o más coeficientes provoca un cambio similarmente pequeño en la solución. Los sistemas mal condicionados son aquellos en donde pequeños cambios en los coeficientes generan grandes cambios en la solución. Otra interpretación del mal condicionamiento es que un amplio rango de resultados puede satisfacer las ecuaciones en forma aproximada. Debido a que los errores de redondeo llegan a provocar pequeños cambios en los coeficientes, estos cambios artificiales pueden generar grandes errores en la solución del sistema mal condicionado. ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES **  MOTIVACION   ** Determinamos el valor de x que satisface una única ecuación, f(x)=0. Nos ocuparemos de determinar los valores ,    …. que en forma simultánea satisfacen un sistema de ecuaciones. Los sistemas pueden ser lineales o no lineales. **  METODOS SIN COMPUTADORA PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES   ** Son pocas las ecuaciones (n   ). Pueden resolverse con rapidez mediante técnicas simples. Históricamente, la incapacidad para resolver a mano los sistemas de ecuaciones más grandes ha limitado el alcance de problemas por resolver por muchas aplicaciones de ingeniería. El surgimiento de las computadoras hizo posible resolver grandes sistemas de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. Además se cuenta con más tiempo para usar sus habilidades creativas, ya que se pondrán mayor énfasis en la formulación del problema y en la interpretación de la solución. **  ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES Y LA PRACTICA EN INGENIERIA   ** Muchas de las ecuaciones fundamentales en la ingeniería se basan en las leyes de conservación. Entre algunas cantidades que se someten a tales leyes están la masa, la energía y el momentum. Estos principios nos conducen a ecuaciones de balance o de continuidad que relacionan el comportamiento del sistema, al representarlo por los niveles o respuesta de la cantidad sujeta a modelamiento con las propiedades o características del sistema, y por los estímulos externos o funciones forzadas que actúan sobre el sistema. Las ecuaciones diferenciales obtenidas a partir de las leyes de conservación especifican la distribución de la variable dependiente para tales sistemas. Las ecuaciones algebraicas lineales simultaneas surgen también en diferentes contextos de problemas matemáticos. Estos resultan cuando se requieren de funciones matemáticas que satisfagan varias condiciones en forma simultánea. Cada condición resulta en una ecuación que contiene coeficientes conocidos y variables desconocidas. Las técnicas analizadas en esta parte sirven para encontrar las incógnitas cuando las ecuaciones son lineales y algebraicas. **  ANTECEDENTES MATEMATICOS   ** **  Notación matricial   ** Una matriz consiste de un arreglo rectangular de elementos representado por un solo símbolo. [A] es la notación breve para la matriz y  designa un elemento individual de la matriz. Un conjunto de lemnetos se llama un renglón (o fila); y uno vertical, columna. A las matrices con dimensión renglón n=1, tales como: [B]=[ Se les conoce como vectores de renglón. Para simplificar se elimina el primer subíndice de cada elemento. también se debe mencionar que hay ocasiones en las que se requiere emplear notación breve especial para distinguir una matriz renglón de otros tipos de matrices. Una forma para llevar a cabo esto es mediante el uso de corchetes abiertos en la parte superior, así [B]. Para matrices de mayores dimensiones las formulas son más complicadas. La transpuesta de una matriz implica transformar los renglones en columnas y viceversa. La transpuesta tiene muchas funciones en algebra matricial: una ventaja es que permite escribir un vector columna como un renglón. La traza de una matriz es la suma de los elementos en su diagonal principal, se designa como tr [A] y se calcula como La traza se usara en el análisis de valores propios. La ultima manipulación de una matriz que resultara de utilidad para nuestro análisis es la aumentación. Una matriz es aumentada al agregar una columna a la matriz original. **  Representación de ecuaciones algebraicas lineales en forma matricial. **     Las matrices proporcionan una notación concisa para representar ecuaciones lineales simultáneas. **  ELIMINACION DE GAUSS   ** Analizamos las ecuaciones algebraicas lineales simultaneas que se representan como: Donde las  son los coeficientes constantes y las // b // son los términos independientes constantes. **  SOLUCION DE SISTEMAS PEQUEÑOS DE ECUACIONES   ** **  Método grafico. **     Debido a que estos sistemas lineales, cada ecuación se relaciona con una línea recta. Método grafico para dos ecuaciones Solución. Sea  la abscisa. Despejando  de la ecuación La cual, cuando se grafica, es una línea recta con una intersección en 9 y una pendiente de -. Para 3 ecuaciones simultáneas cada ecuación se representa como un plano en un sistema de coordenadas tridimensional. El punto donde se intersectan los 3 planos representa la solución. Para mas de tres incógnitas, los métodos gráficos no funcionan y, por consiguiente, tiene poco valor práctico para resolver ecuaciones simultáneas. Se dice que ambos tipos de sistemas son singulares. Los sistemas muy próximos a ser singulares también pueden causar problemas; a estos sistemas se les llama // mal condicionados. // Los sistemas mal condicionados presentan problemas cuando se encuentran durante la solución numérica de ecuaciones lineales, lo cual se debe a que este tipo de sistemas son extremadamente sensibles a los errores de redondeo. **  Determinantes y la regla de Cramer   ** La regla de Cramer es otra técnica de solución adecuada para sistema pequeño de ecuaciones. El determinante tiene relevancia en la evaluación del mal condicionamiento de una matriz. [A]{X}={B} Donde [A] es la matriz de coeficientes: El determinante D de este sistema se forma, a partir de los coeficientes del sistema, de la siguiente manera: Aunque la determinante D y la matriz de coeficientes [A] se compone de los mismos elementos, son conceptos matemáticos completamente diferentes. En contraste con una matriz, el determinante es u simple numero. Regla de Gramer. Esta regla establece que cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales algebraicas puede expresarse como una fracción de dos determinantes con denominador D y con el numerador obtenido a partir de D, al remplazar la columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las constantes **  Problema 9.2   ** Se dan las siguientes matrices: Responda a las siguientes preguntas considerando estas matrices: <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 36pt; mso-add-space: auto; mso-list: l5 level1 lfo2; text-indent: -18pt;"> a) ¿Cuál es la dimensión de las matrices?   <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 36pt; mso-add-space: auto; mso-list: l5 level1 lfo2; text-indent: -18pt;">  b) Identifique las matrices cuadradas, columna y renglón. <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 36pt; mso-add-space: auto; mso-list: l5 level1 lfo2; text-indent: -18pt;"> c)   ¿Cuáles son los valores de los elementos:  ,   ,   ,   ,   y   ?   <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 36pt; mso-add-space: auto; mso-list: l5 level1 lfo2; text-indent: -18pt;">  d)   Realice las siguientes operaciones:

<span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 54pt; mso-add-space: auto; mso-list: l3 level1 lfo3; text-indent: -18pt;"> 1. <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 54pt; mso-add-space: auto; mso-list: l3 level1 lfo3; text-indent: -18pt;"> 2. <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 54pt; mso-add-space: auto; mso-list: l3 level1 lfo3; text-indent: -18pt;"> 3. <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 54pt; mso-add-space: auto; mso-list: l3 level1 lfo3; text-indent: -18pt;"> 4. <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 54pt; mso-add-space: auto; mso-list: l3 level1 lfo3; text-indent: -18pt;"> 5. <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 54pt; mso-add-space: auto; mso-list: l3 level1 lfo3; text-indent: -18pt;"> 6. <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 54pt; mso-add-space: auto; mso-list: l3 level1 lfo3; text-indent: -18pt;"> 7. <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 54pt; mso-add-space: auto; mso-list: l3 level1 lfo3; text-indent: -18pt;"> 8. <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 54pt; mso-add-space: auto; mso-list: l3 level1 lfo3; text-indent: -18pt;"> 9. <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 54pt; mso-add-space: auto; mso-list: l3 level1 lfo3; text-indent: -18pt;"> 10.

**  SOLUCION    ** ** a)  **              **  b)  ** Cuadradas B y E, Columna C y Renglón G.     **  c)  **            **   d)    ** 1.  no se pueden sumar porque sus dimensiones no son iguales. 2.  no se pueden restar porque sus dimensiones no son iguales. 3.  no se pueden sumar porque sus dimensiones no son iguales. 4.        5.   no se pueden multiplicar por que el número de filas de la primera matriz no es igual al número de columnas de la segunda matriz. 6.        7.   no se pueden multiplicar por que el número de filas de la primera matriz no coincide con el número de columnas de la segunda matriz. 8.        9.         10.       **   Problema 9.5   ** Dado el sistema de ecuaciones <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 36pt; mso-add-space: auto; mso-list: l4 level1 lfo4; text-indent: -18pt;"> a) Resuelva gráficamente.   <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 36pt; mso-add-space: auto; mso-list: l4 level1 lfo4; text-indent: -18pt;">  b) Considerando la solución grafica, ¿Qué se espera acerca de la condición del sistema? <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 36pt; mso-add-space: auto; mso-list: l4 level1 lfo4; text-indent: -18pt;"> c) Resuelva por eliminación de incógnitas.    **   SOLUCION   **   **  a)  ** <span style="display: block; mso-element-anchor-horizontal: column; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-height: 243.75pt; mso-element-frame-width: 388.5pt; mso-element-left: 4.05pt; mso-element-top: .05pt; mso-element-wrap: auto; mso-element: frame;">||     || Y       **  b)  ** Observando la solucion grafica la condicion del sistema queda definida como // singular //.     **  c)  ** **  Problema 9.6   ** Para el sistema de ecuaciones <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 36pt; mso-add-space: auto; mso-list: l1 level1 lfo5; text-indent: -18pt;"> a) Calcule el determinante.   <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 36pt; mso-add-space: auto; mso-list: l1 level1 lfo5; text-indent: -18pt;">  b)   Emplee la regla de Cramer y resuelva para las. <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 36pt; mso-add-space: auto; mso-list: l1 level1 lfo5; text-indent: -18pt;"> c) Sustituya los resultados en el sistema original y compruebelos.    **   SOLUCION   **    a)

b)      c)

**  Problema 9.8   ** Dado el sistema <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 36pt; mso-add-space: auto; mso-list: l2 level1 lfo6; text-indent: -18pt;"> a) Resuelva por el metodo de eliminacion de Gauss simple. Muestre todos los pasos de los calculos.   <span style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 36pt; mso-add-space: auto; mso-list: l2 level1 lfo6; text-indent: -18pt;">  b) Sustituya los resultados en las ecuaciones originales y compruebe las respuestas. **  SOLUCION   ** **  a)    **    ° Se multiplica la ecuacion (a) por   teniendo como resultado   y se resta   .      ° Se multiplica (a) por   teniendo como resultado   y se resta   .      ° Se multiplica (f) por   teniendo como resultado   y se resta   .      ° De            De            De          **   b)    ** **  Problema 9.10   ** Utilice el metodo de de eliminacion de Gauss-Jordan para resolver: Use pivoteo parcial. Compruebe las respuestas por sustitucion en las ecuaciones originales. **  SOLUCION   ** ° Normalizar la ecucion (a) dividiendola entre su pivote que es 2. ° Multiplicar la ecuacion (a) por 5 y restarla de (b). Multiplicar la ecuacion (a) por 3 y restarla de (c). ° Normalizar la ecuacion (b) dividiendola entre su pivote que es. ° Multiplicar la ecuacion (b) por  y restarla de (a). Multiplicar la ecuacion (b) por  y restarla de (c). ° Normalizar la ecuacion (c) dividiendola entre su pivote que es. ° Multiplicar la ecuacion (c) por  y restarla de (a). multiplicar la ecuacion (c) por  y restarla de (b). ** Comprobacion:  **  ,   y         PROGRAM Lineqs USE msiml IMPLICIT NONE INTERGER: iphat, ldal, n, ldfac PARAMETER (ipath=1,lda=3,ldfac=3 ,n =3) INTERGER: ipvt (n), i, j, i tmax=50 REAL: : A(lda, lda), Ainv (lda,lda) , factor (ldfac, ldafac), Rcond, Res(n) REAL: :Rj(n), B (n) ,x(n) DATA A/1.0, 0.5, 0.3333333, 0.5, 0.3333333, 0.25, 0.3333333, 0.25, 0.2/ DATA B/ 1.833333 1.0833333, 0.7833333/ CALL LFCRG(n,A,lda,factor,ldfac,ipvt,Rcond) PRINT *, =, 1.0E0/Rcond PRINT * DO I =I,n Rj (i) = 0. END DO     DO j= 1,n Rj(j) =1.0 CALL LFIRG( n,A,lda,factor,ldafac,ipvt,Rj,ipath,ainv 1,j),Res)     Rj(j)= 0.0      END DO      PRINT *, :      DO I = 1,n      PRINT *, (Ainv(I,j), j=1,n)      END DO      PRINT *      PRINT*,:      DO I = 1 ,n      PRINT *, x(i)      END DO      END PROGRAM      = 680.811600      9.000033 -36.000180 30.000160      -36.000180 192.000900 -180.000800      30.000160 -180.000800 180.000800      SOLUCION:      9.999986E – 01      1.000010      9.9999884E-01